對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第十條的規(guī)定“建立勞動(dòng)關(guān)系，應(yīng)當(dāng)訂立書面勞動(dòng)合同�！眲趧�(dòng)合同到期時(shí)間，即為該勞動(dòng)合同的終止時(shí)間，用人單位繼續(xù)與勞動(dòng)者保持勞動(dòng)關(guān)系的，應(yīng)當(dāng)重新簽訂書面勞動(dòng)合同。
　　對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，根據(jù)最高人民法院《關(guān)于審理勞動(dòng)爭(zhēng)議案件適用法律若干問(wèn)題的解釋》(法釋[2001]14號(hào))第十六條的規(guī)定以及勞動(dòng)和社會(huì)保障部辦公廳《關(guān)于對(duì)事實(shí)勞動(dòng)關(guān)系解除是否應(yīng)該支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金問(wèn)題的復(fù)函》(勞社廳函[2001]249號(hào))規(guī)定，勞動(dòng)合同到期后，用人單位未與勞動(dòng)者簽訂勞動(dòng)合同，勞動(dòng)者繼續(xù)工作的，用人單位未提出異議，則用人單位與勞動(dòng)者之間存在事實(shí)勞動(dòng)關(guān)系，而不等于雙方之前簽訂的書面勞動(dòng)合同持續(xù)有效，也不等于用人單位與勞動(dòng)者按照原勞動(dòng)合同約定的期限續(xù)簽了一個(gè)新的勞動(dòng)合同，而是視為用人單位與勞動(dòng)者以原勞動(dòng)合同約定的條件建立了事實(shí)勞動(dòng)關(guān)系。

　　對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，根據(jù)《勞動(dòng)合同法實(shí)施條例》第五條的規(guī)定“自用工之日起一個(gè)月內(nèi)，經(jīng)用人單位書面通知后，勞動(dòng)者不與用人單位訂立書面勞動(dòng)合同的，用人單位應(yīng)當(dāng)書面通知?jiǎng)趧?dòng)者終止勞動(dòng)關(guān)系，無(wú)需向勞動(dòng)者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償，但是應(yīng)當(dāng)依法向勞動(dòng)者支付其實(shí)際工作時(shí)間的勞動(dòng)報(bào)酬�！笨芍�，如果用人單位通知?jiǎng)趧?dòng)者續(xù)簽勞動(dòng)合同，而勞動(dòng)者因自身原因不簽訂勞動(dòng)合同的，用人單位無(wú)需支付二倍工資，終止勞動(dòng)關(guān)系也無(wú)需支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。而在本案中，雖然公司書面通知趙某在一個(gè)月內(nèi)續(xù)簽勞動(dòng)合同而因趙某自身的原因未簽訂，公司在期滿時(shí)應(yīng)當(dāng)書面通知趙某終止勞動(dòng)關(guān)系，但是如果超過(guò)一個(gè)月后公司未終止勞動(dòng)關(guān)系，則雙方之間仍然存在事實(shí)勞動(dòng)關(guān)系，公司應(yīng)當(dāng)支付二倍的工資。
　　對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第八十二條的規(guī)定“用人單位自用工之日起超過(guò)一個(gè)月不滿一年未與勞動(dòng)者訂立書面勞動(dòng)合同的，應(yīng)當(dāng)向勞動(dòng)者每月支付二倍的工資�！币约啊秳趧�(dòng)合同法實(shí)施條例》第六條、第七條的規(guī)定，若勞動(dòng)合同到期后，用人單位與勞動(dòng)者都未意識(shí)到續(xù)簽勞動(dòng)合同，則雙方之間形成了事實(shí)勞動(dòng)關(guān)系，用人單位應(yīng)當(dāng)按照《勞動(dòng)合同法》的規(guī)定支付二倍工資。

　　根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第四十四條的規(guī)定“有下列情形之一的，勞動(dòng)合同終止：(一)勞動(dòng)合同期滿的；……�！钡谒氖鶙l的規(guī)定“有下列情形之一的，用人單位應(yīng)當(dāng)向勞動(dòng)者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償：…(五)除用人單位維持或者提高勞動(dòng)合同約定條件續(xù)訂勞動(dòng)合同，勞動(dòng)者不同意續(xù)訂情形外的，依照本法第四十四條第一項(xiàng)規(guī)定終止固定期限勞動(dòng)合同的；…�！钡谖迨畻l的規(guī)定“用人單位應(yīng)當(dāng)在解除或者終止勞動(dòng)合同時(shí)出具解除或者終止勞動(dòng)合同的證明，并在十五日內(nèi)為勞動(dòng)者辦理檔案和社會(huì)保險(xiǎn)關(guān)系轉(zhuǎn)系手續(xù)。勞動(dòng)者應(yīng)當(dāng)按照雙方約定，辦理工作交接。用人單位依照本法規(guī)定應(yīng)當(dāng)向勞動(dòng)者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償?shù)�，在辦理工作交接時(shí)支付。用人單位對(duì)已經(jīng)解除或者終止的勞動(dòng)合同的文本，至少保存二年備查�！笨芍瑒趧�(dòng)合同到期，不再續(xù)簽勞動(dòng)合同，用人單位與勞動(dòng)者終止勞動(dòng)合同，解除勞動(dòng)關(guān)系，須要做到：
　　第一，告知?jiǎng)趧?dòng)者勞動(dòng)合同到期，不與其續(xù)簽勞動(dòng)合同；
　　第二，向勞動(dòng)者出具終止勞動(dòng)合同的證明，載明終止日期、工作崗位、在本單位的工作年限；
　　第三，在十五日內(nèi)為勞動(dòng)者辦理相應(yīng)的檔案、社保關(guān)系轉(zhuǎn)移手續(xù)；
　　第四，向勞動(dòng)者支付相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。

　　根據(jù)《勞動(dòng)合同法實(shí)施條例》第六條的規(guī)定“用人單位自用工之日起超過(guò)一個(gè)月不滿一年未與勞動(dòng)者訂立書面勞動(dòng)合同，應(yīng)當(dāng)依照勞動(dòng)合同法第八十二條的規(guī)定向勞動(dòng)者每月支付兩倍的工資；…前款規(guī)定的用人單位向勞動(dòng)者每月支付兩倍工資的起算時(shí)間為用工之日起滿一個(gè)月的次日，截止時(shí)間為補(bǔ)訂書面勞動(dòng)合同的前一日。”故，在本案中，公司在原勞動(dòng)合同到期后，未與趙某續(xù)簽勞動(dòng)合同，趙某有權(quán)要求公司支付未簽勞動(dòng)合同的二倍工資，公司應(yīng)當(dāng)支付趙某2014年4月1日至2015年1月期間的二倍工資。

　　對(duì)于第一問(wèn)，根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第三十九條的規(guī)定，勞動(dòng)者嚴(yán)重失職、營(yíng)私舞弊，給用人單位造成重大損害的，用人單位可以解除勞動(dòng)合同，且不需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。故對(duì)于趙某因?yàn)楣ぷ鞒霈F(xiàn)紕漏被辭退，公司是否需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金，需要判斷趙某出現(xiàn)的紕漏是否屬于嚴(yán)重失職、營(yíng)私舞弊，是否給公司造成了重大的損害，如果屬于嚴(yán)重失職而造成了公司的重大損害，則公司辭退趙某是不需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的，但如果趙某不屬于嚴(yán)重失職且并未給公司造成重大損害，公司辭退趙某，則應(yīng)當(dāng)支付相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金。
　　對(duì)于第二問(wèn)，根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第三十九條、第四十六條的規(guī)定，公司在下列情況下辭退勞動(dòng)者是不需要支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的：
　　(1)勞動(dòng)者在試用期內(nèi)被證明不符合錄用條件的；
　　(2)勞動(dòng)者嚴(yán)重違反用人單位的規(guī)章制度的；
　　(3)勞動(dòng)者嚴(yán)重失職、營(yíng)私舞弊，給用人單位造成重大損害的；
　　(4)勞動(dòng)者同時(shí)與其他單位建立勞動(dòng)關(guān)系，對(duì)完成本單位的工作任務(wù)造成嚴(yán)重影響，或者經(jīng)用人單位提出，拒不改正的；
　　(5)以欺詐、脅迫的手段或者趁人之危，使對(duì)方在違背真實(shí)意思的情況下訂立或者變更勞動(dòng)合同而致使勞動(dòng)合同無(wú)效的；
　　(6)被依法追究刑事責(zé)任的。

　　根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第四十七條的規(guī)定，用人單位向勞動(dòng)者支付經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的計(jì)算方式為：
　　第一，經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償按勞動(dòng)者在本單位的工作年限，每滿一年支付一個(gè)月的工資，六個(gè)月以上不滿一年的，按一年計(jì)算，不滿六個(gè)月的，向勞動(dòng)者支付按個(gè)月的工資；
　　第二，勞動(dòng)者月工資高于用人單位所在直轄市、設(shè)區(qū)的市級(jí)人民政府公布的本地區(qū)上年度職工月平均工資三倍的，向其支付的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金的標(biāo)準(zhǔn)按照職工月平均工資的三倍數(shù)額支付，向其支付的年限最高不超過(guò)二十年；
　　第三，月工資是指勞動(dòng)者在勞動(dòng)合同解除或者終止前十二個(gè)月的平均工資，不足十二個(gè)月的，按實(shí)際月份的平均工資。
　　在本案中，趙某自2011年3月1日至2015年1月在公司工作，其工作年限為五年，故公司應(yīng)當(dāng)向其支付五個(gè)月工資的經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償金，其月工期為2014年1月至2015年1月的平均工資。

　　對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，涉及的方面比較多，針對(duì)在實(shí)踐中發(fā)生勞動(dòng)爭(zhēng)議的因素也是比較多的，提出一些主要的建議：
　　根據(jù)《勞動(dòng)合同法》第十七條的規(guī)定，勞動(dòng)者在與用人單位簽訂勞動(dòng)合同時(shí)，應(yīng)當(dāng)特別注意以下幾個(gè)方面：
　　第一，勞動(dòng)合同對(duì)于合同期限、試用期的約定；
　　第二，勞動(dòng)合同對(duì)工作內(nèi)容、工作崗位、工作地點(diǎn)的約定；
　　第三，勞動(dòng)合同對(duì)工作時(shí)間、休息休假的約定；
　　第三，勞動(dòng)合同對(duì)勞動(dòng)報(bào)酬(包括工資、加班費(fèi))的約定；
　　第四，勞動(dòng)合同對(duì)勞動(dòng)合同的終止或者解除條件的約定；
　　第五，勞動(dòng)合同對(duì)培訓(xùn)、保密、補(bǔ)充保險(xiǎn)以及福利待遇等事項(xiàng)的約定。
　　根據(jù)實(shí)踐中發(fā)生的勞動(dòng)糾紛案件，公司為了避免與勞動(dòng)者發(fā)生勞動(dòng)合同糾紛應(yīng)當(dāng)：
　　第一，與勞動(dòng)者在平等、協(xié)商一致、自愿的情況下訂立書面勞動(dòng)合同；
　　第二，勞動(dòng)合同內(nèi)容的約定要符合勞動(dòng)法律法規(guī)的規(guī)定并全面履行用人單位的義務(wù)；
　　第三，按照勞動(dòng)合同的約定和勞法律法規(guī)的規(guī)定及時(shí)足額支付勞動(dòng)報(bào)酬，安排加班費(fèi)，支付相應(yīng)的加班費(fèi)；
　　第四，按照法律規(guī)定安排勞動(dòng)者休婚假、產(chǎn)假、帶薪年休假等相應(yīng)的假期；
　　第五，依法足額為勞動(dòng)者繳納社保；
　　第六，與勞動(dòng)者解除或者終止勞動(dòng)關(guān)系要符合勞動(dòng)法規(guī)的規(guī)定。